有限数学示例

$\log_{9} (7) + \log_{9} (3 x^{2} \cdot 9) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{9} (7 (3 x^{2} \cdot 9)) = 2$

解题步骤 1.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\log_{9} (7 (27 x^{2})) = 2$

解题步骤 1.3

将 $27$ 乘以 $7$ 。

$\log_{9} (189 x^{2}) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{9} (189 x^{2}) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$9^{2} = 189 x^{2}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $189 x^{2} = 9^{2}$ 。

$189 x^{2} = 9^{2}$

解题步骤 3.2

将 $189 x^{2} = 9^{2}$ 中的每一项除以 $189$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $189 x^{2} = 9^{2}$ 中的每一项都除以 $189$ 。

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $189$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{189 x^{2}}{189} = \frac{9^{2}}{189}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{9^{2}}{189}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} = \frac{81}{189}$

解题步骤 3.2.3.2

约去 $81$ 和 $189$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$x^{2} = \frac{27 (3)}{189}$

解题步骤 3.2.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.2.3.2.2.1

从 $189$ 中分解出因数 $27$ 。

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

解题步骤 3.2.3.2.2.2

约去公因数。

$x^{2} = \frac{27 \cdot 3}{27 \cdot 7}$

解题步骤 3.2.3.2.2.3

重写表达式。

$x^{2} = \frac{3}{7}$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{7}}$

解题步骤 3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{7}}$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.4.2

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 3.4.3.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

解题步骤 3.4.3.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

解题步骤 3.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 3.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.4.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7^{1}}$

解题步骤 3.4.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 3.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 7}}{7}$

解题步骤 3.4.4.2

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{21}}{7}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{21}}{7}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\sqrt{21}}{7}, - \frac{\sqrt{21}}{7}$

小数形式：

$x = 0.65465367 \dots, - 0.65465367 \dots$

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